Over de schoonheid van wiskundige bewijzen, of: het Boek waarover we het verrassend eens zijn. Een column.
Of kunstenaars schoonheid mogen of moeten nastreven, is sedert de recentste Vlaamse regeringsformatie een heikel politiek twistpunt. Laat staan dat er een consensus zou te vinden zijn over wat artistieke schoonheid dan wel precies is.
Maar over een andere soort schoonheid, wiskundige schoonheid, lijkt er een verrassende eensgezindheid te bestaan. Zelfs tussen volslagen wiskundige leken. Dat hebben de onderzoekers Samuel Johnson, een psycholoog van de universiteit van Bath, en Stefan Steinerberger, een wiskundige van de Yale-universiteit in Connecticut, vastgesteld. Ze hebben nagegaan hoe wiskundigen en leken oordeelden over de schoonheid (of lelijkheid) van vier wiskundige bewijzen.
De schoonheid van een bewijs? Misschien dacht u dat een wiskundig bewijs alleen maar correct hoeft te zijn. En wiskundige correctheid mag dan inderdaad volstaan om goed te scoren op een examen, of om een nieuw bewijs gepubliceerd te krijgen in een vakblad, of om een open vraagstuk te beslechten, maar toch zijn er altijd al vele wiskundigen geweest die ook heel wat geven voor wat ze ervaren als de schoonheid van een bewijs, een idee of een redenering.
Precies omschrijven waar wiskundige schoonheid dan uit bestaat, kunnen ze niet, maar they know it when they see it.
In elk geval zal een bewijs dat gebaseerd is op een briljant inzicht meer geapprecieerd worden dan een bewijs dat bestaat uit een door een computer geproduceerde duizenden pagina’s lange lijst waarin alle gevallen of mogelijkheden één voor één overlopen worden. En bij voorkeur is dat briljante inzicht niet zomaar een slimmigheidje, maar wel iets dat een diep inzicht geeft in het wezen van het vraagstuk, of dat onverwachte verbanden legt tussen verschillende takken van de wiskunde.
De excentrieke twintigste-eeuwse wiskundige Paul Erdös (die wiskundigen ooit omschreef als ‘machines om koffie om te zetten in stellingen’) had het vaak over ‘het Boek’, waarin God van elke wiskundige stelling het allermooiste bewijs had opgeschreven. Als Erdös een bewijs prachtig vond, zei hij ‘Dat is er een uit het Boek’.
Johnson en Steinerberger lieten leken en wiskundigen vier eenvoudige wiskundige bewijzen lezen. De proefpersonen werden daarna getest om te zien of ze de bewijzen begrepen hadden, en als dat zo was moesten ze aan de bewijzen scores toekennen voor criteria als ‘schoonheid’. Bij andere experimenten kregen de proefpersonen naast de vier bewijzen ook vier schilderijen te zien, of ze hoorden vier stukken pianomuziek. Ze moesten dan aangeven welk bewijs het meest aan welk schilderij of muziekstuk deed denken.
De proefpersonen waren het veel vaker dan verwacht met elkaar eens over welke bewijzen het mooist waren en op welke schilderijen of pianocomposities ze leken – tot verbazing van de onderzoekers. En bovendien stemden de oordelen van de leken grosso modo overeen met die van de beroepswiskundigen.
Wiskundeknobbel of niet, het lijkt erop dat we allemaal de schoonheid van een abstracte redenering kunnen appreciëren.
Deze column is op 18 januari 2020 verschenen in De Tijd.